a, Cách 1: Gọi O’ là điểm đối xứng với O qua (Δ)

⇒ OO’ ⊥ Δ tại trung điểm I của OO’.

+ (Δ) nhận  là một vtpt ⇒ (Δ) nhận  là một vtcp

OO’ ⊥ Δ ⇒ OO’ nhận  là một vtpt. Mà O(0, 0) ∈ OO’

⇒ Phương trình đường thẳng OO’: x + y = 0.

+ I là giao OO’ và Δ nên tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình:

Cách 2: Gọi O’(x, y) là điểm đối xứng với O qua Δ.

+ Trung điểm I của OO’ là 

+ (Δ) nhận  là một vtpt ⇒ (Δ) nhận  là một vtcp.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Vậy O’(–2; 2).

b)

+ Vì O và A nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng Δ nên đoạn thẳng OA không cắt Δ.

O’ và A thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ là đường thẳng Δ nên O’A cắt Δ.

Do O’ đối xứng với O qua đường thẳng ∆ nên ∆ là đường trung trực của đoạn thẳng OO’, với mọi M ∈ Δ ta có MO = MO’.

Độ dài đường gấp khúc OMA bằng OM + MA = O’M + MA ≥ O’A.

⇒ O’M + MA ngắn nhất khi O’M + MA = O’A ⇔ M là giao điểm của O’A và Δ.

⇒ O’A nhận  là một vtcp

⇒ O’A nhận  là một vtpt. Mà A(2; 0) ∈ O’A

⇒ Phương trình đường thẳng O’A : 1(x - 2) + 2(y - 0)= 0 hay x + 2y – 2 = 0.

M là giao điểm của O’A và Δ nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ :

Vậy điểm M cần tìm là 

Trước hết ta thấy O, A nằm trên cùng một mặt phẳng bờ \(\Delta\).

Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với \(\Delta\) tại H.

Đường thẳng d có phương trình: \(x+y-2=0\)

\(\Rightarrow H\) có tọa độ là nghiệm hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+2=0\\x+y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=2\end{matrix}\right.\Rightarrow H=\left(0;2\right)\)

Gọi A' là điểm đối xứng với A qua d

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=2x_H-x_A=-2\\y_{A'}=2y_H-y_A=4\end{matrix}\right.\Rightarrow A'=\left(-2;4\right)\)

\(\Rightarrow OA'=2\sqrt{5}\)

Phương trình đường thẳng OA': \(2x+y=0\)

Khi đó: \(OM+MA=OM+MA'\ge OA'=2\sqrt{5}\)

\(min=2\sqrt{5}\Leftrightarrow M\) là giao điểm của \(\Delta\) và OA'

\(\Leftrightarrow M\) có tọa độ là nghiệm hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+2=0\\2x+y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow M=\left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)

Lời giải:

Vì $M$ thuộc $\Delta$ nên $M$ có tọa độ $(a-2,a)$

Độ dài đường gấp khúc $OMA$ là:

$OM+MA=\sqrt{a^2+(a-2)^2}+\sqrt{(a-4)^2+a^2}$

$=\sqrt{2}.(\sqrt{(a-1)^2+1}+\sqrt{(2-a)^2+2^2})$

$\geq \sqrt{2}.\sqrt{(a-1+2-a)^2+(1+2)^2}$ (theo BĐT Mincopxky)

$=2\sqrt{5}$

Vậy $OMA$ min bằng $2\sqrt{5}$. Giá trị này đạt tại $a=\frac{4}{3}$

Vậy $M(\frac{-2}{3},\frac{4}{3})$

a. Gọi I là trung điểm AB khi đó \(I\left(-1;2\right)\) và \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\) với mọi M

Do đó \(M\in\Delta\) mà \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|\) nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I trên \(\Delta\)

Gọi \(\left(x;y\right)\) là tọa độ hình chiếu của I trên \(\Delta\). Khi đó ta có hệ phương trình :

\(\begin{cases}x+y+1=0\\\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{1}\end{cases}\)    \(\Leftrightarrow\begin{cases}x+y+1=0\\x-y+3=0\end{cases}\)

Giải hệ thu được \(x=-2;y=1\) Vạy điểm \(M\in\Delta\) mà \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|\) nhỏ nhất là \(M\equiv I\left(-2;1\right)\)

b) gọi J là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow{JA}+3\overrightarrow{JB}\)=0 khi đó \(J\left(-\frac{8}{5};\frac{9}{5}\right)\) và với mọi điểm M của mặt phẳng đều có

                                            \(2MA^2+3MB^2=2JA^2+3JB^2+5MJ^2\)

suy ra \(M\in\Delta\)mà \(2MA^2+3MB^2\)nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của J trên\(\Delta\)

Gọi (x;y) là tọa độ hình chiếu của J trên \(\Delta\).khi đó ta có phương trình

                                    \(\begin{cases}x+y+1=0\\x+\frac{8}{5}=y-\frac{9}{5}\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x+y+1=0\\x-y-\frac{17}{5}=0\end{cases}\)

Giải hệ thu được : \(x=\frac{5}{6};y=-\frac{11}{5}\)

Vậy điểm M cần tìm là : \(M\left(\frac{6}{5};\frac{-11}{5}\right)\)

a) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương (1 ; 2 ; 1). H ∈ ∆ nên H(2 + t ; 1 + 2t ; t).

Điểm H ∈ ∆ là hình chiếu vuông góc của A lên ∆ khi và chỉ khi ⊥ .

Ta có (1+t ; 1 + 2t ; t) nên:

⊥ ⇔ = 0.

⇔ 1 + t + 2(1 + 2t) + t = 0

⇔ 6t + 3 = 0 ⇔ t = .

⇔ .

b) Gọi A' là điểm đối xứng của A qua ∆ và H là hình chiếu vuông góc của A lên ∆ thì H là trung điểm của AA'; vì vậy tọa độ của H là trung bình cộng các tọa độ tương ứng của A và A'.

Gọi A'(x ; y ; z) ta có:

=> x = 2; y = 0; z = -1.

Vậy A'(2 ; 0 ; -1).

Đường thẳng \(\Delta\) nhận \(\left(2;-1\right)\) là 1 vtpt

Gọi d là đường thẳng qua B và vuông góc \(\Delta\Rightarrow d\) nhận \(\left(1;2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(1\left(x-2\right)+2\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x+2y-8=0\)

Gọi C là giao điểm d và \(\Delta\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y+3=0\\x+2y-8=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(\frac{2}{5};\frac{19}{5}\right)\)

A đối xứng B qua \(\Delta\Leftrightarrow C\) là trung điểm AB

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A=2x_C-x_B=-\frac{6}{5}\\y_A=2y_C-y_B=\frac{23}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(-\frac{6}{5};\frac{23}{5}\right)\)

a. Vì \(2-2.5+3=-5< 0\) và \(-4-2.5+3=-11< 0\) nên A, B cùng phía với đường thẳng \(\Delta\).

Gọi \(A'\left(x;y\right)\) là điểm đối xứng với A qua  \(\Delta\), khi đó (x;y) là nghiệm của hệ :

\(\begin{cases}\frac{x-2}{1}=\frac{y-5}{-2}\\\frac{x-2}{1}-2.\frac{y+5}{2}+3=0\end{cases}\)

Giải hệ ta được : \(\left(x;y\right)=\left(4;1\right)\) suy ra \(\overrightarrow{A'B}=\left(-8;4\right)=4\left(-2;1\right)\)

Do đó đường thẳng A'B có phương trình tham số \(\begin{cases}x=4-2t\\y=1+t\end{cases}\)\(;t\in R\)

Suy ra điểm C cần tìm có tọa độ là nghiệm của hệ :

\(\begin{cases}x=4-2t\\y=1+t\\x-2y+3=0\end{cases}\)

Giải hệ ta có điểm C \(\left(\frac{3}{2};\frac{9}{4}\right)\)

b. Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó\(I\left(-1;5\right)\) và \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}\), với mọi C.

Vậy \(C\in\Delta\) : \(\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right|\) bé nhất \(\Leftrightarrow\left|CI\right|\) bé nhất \(\Leftrightarrow C\) là hình chiếu của I trên \(\Delta\)

Nếu \(C\left(x;y\right)\) là hình chiếu  của I trên \(\Delta\) thì (x;y) là nghiệm của hệ :

\(\begin{cases}\frac{x+1}{1}=\frac{y-5}{-2}\\x-2y+3=0\end{cases}\)

Giải hệ thu được : \(\left(x;y\right)=\left(\frac{3}{5};\frac{9}{5}\right)\) vậy \(C\left(\frac{3}{5};\frac{9}{5}\right)\)

Đường thẳng \(\Delta\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)\) nên nhận \(\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)\) làm vecto chỉ phương.

Từ đó để ý rằng đường thẳng \(\Delta\) cắt Ox tại \(M\left(-3;0\right)\) nên \(\Delta\) có phương trình dạng tham số :

\(\begin{cases}x=-3+2t\\y=t\end{cases}\) \(\left(t\in R\right)\)

a. Xét \(C\left(-3+2t;t\right)\in\Delta\), khi đó :

\(CA+CB=\sqrt{\left(5-2t\right)^2+\left(5-t\right)^2}+\sqrt{\left(2t+1\right)^2+\left(t-5\right)^2}\)

                  \(=\sqrt{5t^2-30t+50}+\sqrt{5t^2-6t+26}\)

                  \(=\sqrt{\left(\sqrt{5}t-3\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{3}{\sqrt{5}}-\sqrt{5}t\right)^2+\frac{121}{5}}\)

                  \(\ge\sqrt{\left(\frac{3}{\sqrt{5}}-3\sqrt{5}\right)^2+\left(\sqrt{5}+\frac{11}{\sqrt{5}}\right)^2}=4\sqrt{5}\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\(\frac{\sqrt{5}t-3\sqrt{5}}{\frac{3}{\sqrt{5}}-\sqrt{5}t}=\frac{5}{11}\Leftrightarrow t=\frac{9}{4}\)

Từ đó tìm được : \(C\left(\frac{3}{2};\frac{9}{4}\right)\)

b. Với \(C\left(=3+2t;t\right)\in\Delta\) ta có \(\overrightarrow{CA}=\left(5-2t;5-t\right)\) và \(\overrightarrow{CB}=\left(-1-2t;5-t\right)\)

Suy ra : \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=\left(4-4t;10-2t\right)\) và do đó :

\(\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right|=\sqrt{\left(4-4t\right)^2+\left(10-2t\right)^2}=\sqrt{\left(2\sqrt{5}t-\frac{18}{\sqrt{5}}\right)^2+\frac{256}{5}}\ge\frac{16}{\sqrt{5}}\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(t=\frac{9}{5}\)

Do đó điểm C cần tìm là \(\left(\frac{3}{5};\frac{9}{5}\right)\)